等比数列是指数列中每一项与前一项的比值相等的数列，这个比值称为公比。等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$q$表示公比。等比数列的求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$S_n$表示前$n$项的和。

证明等比数列求和公式：

设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，前$n$项的和为$S_n$。

则有：

$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

$S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1}$

将这个等比数列乘以公比$q$，得到：

$qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n}$

将上式两边相减，得到：

$S_n-qS_n=a_1-a_1q^n$

化简得到：

$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

因此，等比数列的求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

这个公式的证明可以通过数学归纳法来进行。当$n=1$时，显然有$S_1=a_1$，公式成立。假设当$n=k$时公式成立，即$S_k=\frac{a_1(1-q^k)}{1-q}$，则当$n=k+1$时，有：

$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=\frac{a_1(1-q^k)}{1-q}+a_1q^k=\frac{a_1(1-q^{k+1})}{1-q}$

因此，公式对于任意正整数$n$都成立。

总之，等比数列的求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，可以通过数学归纳法来进行证明。这个公式在数学中有很多应用，例如在金融中计算复利的利息，或者在物理中计算等比数列的累加效应等。

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