虽然这两个词都是关照，但它表达的意义我认为有区别。

请多关照是请求别人多照顾，多帮助，现在尚未帮助。承蒙关照表达的意思是已经接受了别人的帮助和照顾，承蒙是带有感谢的意思。例如开学初，我送孩子上学时，对老师说，这孩子学习吃力，请老师多关照。期终看到了学生的成绩单，我又给老师发短信说，承蒙老师关照，孩子进步很大。

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